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用棣莫弗公式推导三角函数的n倍角公式


来源： 个人图书馆-形貌

用一元无穷次方程求所有正整数倒数平方和广义二项式定理​其中"[]"...


(资料图)

用一元无穷次方程求所有正整数倒数平方和

广义二项式定理

​

其中"[]"是取整函数，返回不超过自变量的最大整数(如[3.2]=3，[5]=5)，另外组合数

​

用二项式定理计算出来的乘方与用棣莫弗公式计算出的乘方应该相等，将两种结果的实部跟虚部分别比较可得：

​​上述两式就是正弦和余弦函数的n倍角公式，很容易通过两式得到其他类型三角函数的n倍角公式。当n=2时，上述两式就变成常见的(二)倍角公式​​

通过三角函数的n倍角公式还可以推导出三角函数的幂级数展开式。三角函数的n倍角公式是实数域中的结论，而这里是在复数域中求得的，要是直接在实数域中用和角公式进行推导反而复杂得多。可见在复数域中解决实数问题有时反而更加简单，这种情况经常出现。

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